2+2=4 (reloaded)

Je sais bien que revenir sur le sujet ne va pas améliorer ma réputation.
Leibniz est ce qu'il est, reconnu, adulé etc. tandis que l'inspecteur C passe pour un doux dingue, ok ok ok.
Néanmoins, je réécris la démonstration de Gottfried selon laquelle 2+2=4 :

Définitions
1- Deux est un et un
2- Trois est deux et un
3- Quatre est trois et un

Axiome : Mettant des choses à la place l'égalité demeure

Démonstration
2 et 2 est 2 et 1 et 1, par la définition 1, autrement dit 2+2=2+(1+1)
2 et 1 et 1 est 3 et 1 par la définition 2, autrement dit (2+1)+1 = 3+1
3 et 1 est 4 par la définition 3 Donc (par l'axiome) 2 et 2 est 4.

Attendez une minute, arrêtons nous sur le passage de la 1ere à la 2ème ligne : qui me dit que 2+(1+1)=(2+1)+1 ?
Où cette étape a-t-elle été démontrée ?
Nulle part.
Je m'excuse, mais pour moi ça ne va pas de soi.
Alors, déjà que pour démontrer cette simple égalité (2+2=4) on doit se servir de trois définitions et d'un axiome qui (par définition) ne sont pas démontrés, mais EN PLUS la partie démonstration est incomplète !

Je crois qu'il est temps que l'inspecteur c s'intéresse aux mathématiques, histoire de remettre un peu d'ordre dans tout ça.